一类积分不

vzeucvprjfe · Wysłany: Czw 11:34, 31 Mar 2011

一类积分不等式成立的条件
r)(r，t)]dt+I[(r，t3)(r，t)+f(r，t3)t1(r，t)]dt+I．“dt3+I．“dt2TrrJ0J0J0Wefindg(0)=g(0)=(0)=g0’(0)=0，g“’(0)=(0，0)>0Thereforeg(，)：g(0)(o)r+r2+r3+r+0(r)：r+0(r)Itisthusclearthatthereexista>0，suchthatifr∈(一，)，theng(r)>0．ThiscompletestheproofofTheorem1．Remark．FromtheproofofTheorem1，itisnothardtofindthatTheorem1canbeextendedtotheeaseinwhichfisan．variables(n≥3)function，thatis，supl~sef(0)≠0，fhas(n一1)·thorderpartialderivative，thenthereexista>0，suchthatifr∈(一，)thenformula(1)holds．Undergeneralconditions，formula(1)doesnothold．Thefollowingisacounter—example．Example．Letf1((，，，)∈D)(，Y)={一1((，Y)∈D一)【0((，，，)隹D+uD一)where：D={(，Y)I1<<2，0<Y<1一x12}D一={(，Y)I1<<2，1一x12<Y<2一}Thenifr≥2，肌(f，f4)df4df3df2fl<0Proof．Wehaveft3((t2，t3)∈D)F(t，f3)：，f4)dr：{2一t一t，’f3)∈D一)J0l【0((t，t，)隹DUD一)LetD={(，Y)10≤≤Y}D={(，Y)I1<Y<65292>2x一2}D2={(，Y)I1<Y<2x一2，<2>fand1一(0<t3<1一tl／2)(1一tl／2<t3<1一t2／2)(1一t2／2<t3<2一t1)(2一tl<t3<t2>0)，f3)f3)=t。一hip+hip…JOJOJl一．，2Jl—1，2Moreover，if(tl，t2)∈D2thenct。，tct，t=={——≥(0<t3<1一tl／2)(1一tl／2<t3<2一t1)(2一tl<t3<t2)j．厂ct-，tFctz，tdt=j．一+j．：：：=一c一<。Andif(tI，t2)∈D—DIUD2，thenf(tI，t3)F(t2，t3)=0．Therefore，ifr≥2，肌00肼(I't)dt4dI2t：f『[fl'f)F(f2'f)df]dI2df。JJDJO=~DlUD2[(I2)dt3z=ⅡDl(f1)(1_+zdIl+Ⅱ(1_f2dt·<0ThiscompletestheproofofExample．2一￡幻“十O一，●●●●●●●●，、●●●●●●●●●L=、，￡2￡，F、，￡￡，厂
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